Question

梯形ABCD顶点B、C在以AD为直径的圆上，AD=2米，

(1)如图1，若电热丝由AB，BC，CD这三部分组成，在AB，CD上每米可辐射1单位热量，在BC上每米可辐射2单位热量，请设计BC的长度，使得电热丝辐射的总热量最大，并求总热量的最大值；

(2)如图2，若电热丝由弧和弦BC这三部分组成，在弧上每米可辐射1单位热量，在弦BC上每米可辐射2单位热量，请设计BC的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．

Answer

（1）应设计BC长为米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为单位．（2）应设计BC长为米，电热丝辐射的总热量最大．

【解析】试题（1）取角为自变量: 设∠AOB＝θ，分别表示AB，BC，CD,根据题意得函数4cosθ+4 sin,利用二倍角余弦公式得关于sin二次函数 ,根据二次函数对称轴与定义区间位置关系求最值（2）取角为自变量: 设∠AOB＝θ，利用弧长公式表示 ,得函数2θ＋4cosθ,利用导数求函数单调性,并确定最值

试题解析：【解析】
(1)设∠AOB＝θ，θ∈(0，)则AB＝2sin，BC＝2cosθ，

总热量单位f(θ) ＝4cosθ+4 sin＝－8(sin)2＋4 sin＋4，当sin＝，

此时BC＝2cosθ＝ (米)，总热量最大 (单位) ．

答：应设计BC长为米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为单位．

(2)总热量单位g(θ)＝2θ＋4cosθ，θ∈(0，)

令g'(θ)＝0，即2－4sinθ＝0，θ＝，增区间（0，），减区间（，）

当θ＝，g(θ)最大，此时BC＝2cosθ＝ (米)

答：应设计BC长为米，电热丝辐射的总热量最大．