Question

设f(x)="xln" x–ax²+(2a–1)x，aR.

（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；

（Ⅱ）已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.

Answer

（Ⅰ）当时，函数单调递增区间为，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为； （Ⅱ）

【解析】试题（Ⅰ）先求出，然后讨论当时，当时的两种情况即得.

（Ⅱ）分以下情况讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，综合即得.

试题解析：（Ⅰ）由

可得，

则，

当时，

时， ，函数单调递增；

当时，

时， ，函数单调递增，

时， ，函数单调递减.

所以当时， 单调递增区间为；

当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， .

①当时， ， 单调递减.

所以当时， ， 单调递减.

当时， ， 单调递增.

所以在x=1处取得极小值，不合题意.

②当时， ，由(Ⅰ)知在内单调递增，

可得当当时， ， 时， ，

所以在(0,1)内单调递减，在内单调递增，

所以在x=1处取得极小值，不合题意.

③当时，即时， 在(0,1)内单调递增，在内单调递减，

所以当时， ， 单调递减，不合题意.

④当时，即，当时， ， 单调递增,

当时， ， 单调递减，

所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意.

综上可知，实数a的取值范围为.