Question

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率，且椭圆的短轴长为2．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知直线l₁，l₂过右焦点F₂，且它们的斜率乘积为﹣1，设l₁，l₂分别与椭圆交于点A，B和C，D．①求AB＋CD的值；②设AB的中点M，CD的中点为N，求△OMN面积的最大值．

Answer

（1）（2）①②

【解析】

（Ⅰ）由离心率e=，短轴长为2．可得a，b，即可写出方程；（2）设出直线 ： 与椭圆联立,求出，同理 ，求出中点坐标M,N，再利用MN两点确定的直线恒过定点和面积公式即可求出.

（Ⅰ）由题意得2b=2，∴b=1，

∵，a2=b2+c2，∴a=，c=1，

∴椭圆的方程为．

（2）由题意知k0，右焦点 设 ：

设A（ ）B()

因为l1，l2的斜率乘积为﹣1,所以

所以= +=3

过定点 可通过特殊情形猜想，若有定点，则在x 轴上．

在k≠0，k≠±1的情况下，设直线l的方程为：x=ky+1，

直线l的方程为： ，

由（2）得，y= ，

故 ，即M（，），

则N(， )…．（12分）

可得直线MN的方程：，

即，则，即

y=

故直线MN过定点（或令y=0，即得x=）

易验证当k=0，k=±1时，结论仍成立．

综上，直线MN过定点

所以S= =

所以面积最大