Question

已知函数 ， 的图象与轴交于点A，曲线在点A处的切线斜率为－1.

(1)求的值；

(2)证明：当时， ；

(3)证明：对任意给定的正数，总存在，使得当时，恒有

Answer

(1)2；(2)证明见解析；(3)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）求导，由，由导数工具求得极值；（2）令, ；（3）解法一：①若，由（2）得，存在 使得命题恒成立.②若 ,令 ,命题转化为 成立，即只要 成立.令 ,利用导数工具得：取 ， .即存在 ,使得原命题成立. 解法二：对任意给定的正数c，取由（2）知，当x>0时， 当时， ，故对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.

试题解析：

（1）由，得.又,得.所以

.令,得.当时, 单

调递减;当时, 单调递增.所以当时, 取得极小值,且极

小值为无极大值.

（2）令,则.由（I）得,故在R上单调递增,又,因此,当时, ,即,

（3）解法一：①若,则.又由（II）知，当时, .所以当时, .取,当时，恒有.

②若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，则只要,只要成立.令,则.所以当时, 在内单调递增.取,所以在内单调递增.又.易知.所以.即存在,当时，恒有.

综上，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.

解法二：对任意给定的正数c，取

由（2）知，当x>0时， ，所以

当时，

因此，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.