Question

函数，且在处的切线斜率为.

(1)求的值，并讨论在上的单调性；

(2)设函数  ，其中，若对任意的总存在，使得成立，求的取值范围

（3）已知函数，试判断在内零点的个数.

Answer

(1)答案见解析；(2)答案见解析.（3）1个零点

【解析】试题分析：

(1)由函数的解析式可得f′(x)＝(a－1)sin x＋axcos x，由可得，利用导函数讨论单调性可得f(x)在， 上单调递增；在， 上单调递减．

(2)结合(1)的结论可知f(x)min＝f(0)＝1，则g(x)≥1在x∈[0，＋∞)上恒成立．且g′(x)＝ (x≥0，m>0)，据此讨论可知m≥2时满足题意，当00时，－π0)，

①当m≥2时，≥0，∴g′(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，即g(x)在[0，＋∞)上单调递增，又g(0)＝1，∴g(x)≥1在x∈[0，＋∞)上恒成立，故m≥2时成立．

②当0