Question

已知点及圆.

（1）设过点的直线与圆交于两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；

（2）设直线与圆交于两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.

Answer

(1) （2）不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦

【解析】试题分析：（1）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（2）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明证明即可．

试题解析：

（Ⅰ）由于圆的圆心，半径为， ，而弦心距，

所以，所以为的中点，

所以所求圆的圆心坐标为，半径为，

故以为直径的圆的方程为： ．

（Ⅱ）把直线及代入圆的方程，消去，整理得：

，

由于直线交圆于， 两点，

故，即，解得．

则实数的取值范围是．

设符合条件的实数存在，

由于垂直平分弦，故圆心必在直线上，

所以的斜率，所以，

由于，

故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．