Question

如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，平面，，，，.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正切值.

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）取的中点，先证明四边形为平行四边形得到，然后通过勾股定理证明从而得到，然后结合四边形为正方形得到，最后利用直线与平面垂直的判定定理证明平面；（2）解法1是先取的中点，连接，利用（1）中的结论平面得到，利用等腰三角形三线合一得到，利用直线与平面垂直的判定定理得到平面，通过证明四边形为平行四边形得到，从而得到平面，从而得到，然后利用底面四边形为正方形得到，由这两个条件来证明平面，从而得到是直线与平面所成的角，然后在直角中计算，从而求出直线与平面所成角的正切值；解法2是先取的中点，连接，利用（1）中的结论平面得到，利用等腰三角形三线合一得到，利用直线与平面垂直的判定定理得到平面，然后选择以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系求出线与平面所成角的正切值.

试题解析：（1）取的中点，连接，则，

由（1）知，，且，四边形为平行四边形，

，，

在中，，又，得，，

在中，，，，

，，，即，

四边形是正方形，，

，平面，平面，平面；

（2）解法1：连接，与相交于点，则点是的中点，

取的中点，连接、、，

则，.

由（1）知，且，，且.

四边形是平行四边形.，且，

由（1）知平面，又平面，.

，，平面，平面，

平面.平面.

平面，.

，，平面，平面，平面.

是直线与平面所成的角.

在中，.

直线与平面所成角的正切值为；

解法2：连接，与相交于点，则点是的中点，

则，.由（1）知，且，，且.

四边形是平行四边形.

，且，

由（1）知平面，又平面，.

，，平面，平面，

平面.平面.

以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，

建立空间直角坐标系，则，，，.

，，.

设平面的法向量为，由，，

得，，得.

令，则平面的一个法向量为.

设直线与平面所成角为，

则.，.

直线与平面所成角的正切值为.