Question

如图，在三棱柱中， 底面，且为等边三角形， ， 为的中点.

（1）求证：直线平面；

（2）求三棱锥的体积.

Answer

(1)见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）连接B1C交BC1于O，连接OD，证明OD∥B1A，由线面平行的判定定理证明AB1∥平面C1BD．(2) 利用等体积转换，即可求三棱锥C﹣BC1D的体积．

试题解析：

(1)证明：如图所示，

连接B1C交BC1于O，连接OD，

因为四边形BCC1B1是平行四边形，

所以点O为B1C的中点，

又因为D为AC的中点，

所以OD为△AB1C的中位线，

所以OD∥B1A，

又OD⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，

所以AB1∥平面C1BD．

(2) 因为△ABC是等边三角形，D为AC的中点，

所以BD⊥AC，

又因为AA1⊥底面ABC，

所以AA1⊥BD，

根据线面垂直的判定定理得BD⊥平面A1ACC1，

△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，

∴S△BCD=×3×3=，

∴==••6=9．