Question

如图，已知是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴折叠，使二面角为直二面角.

（1）证明： ；

（2）求二面角的正弦值.

Answer

(1)见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）由OA⊥OO1，OB⊥OO1，知∠AOB是所折成的直二面角的平面角，从而OA⊥OB，进而推导出OC⊥BO1，由此能证明AC⊥BO1．

（2）推导出BO1⊥平面AOC，设OC∩O1B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O1F，则∠O1FE是二面角O﹣AC﹣O1的平面角，由此能求出二面角O﹣AC﹣O1的余弦值．

试题解析：

证明：（1）由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1，

所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

即OA⊥OB

从而AO⊥平面OBCO1，

OC是AC在面OBCO1内的射影

因为tan∠OO1A==，tan∠O1OC==，

所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，

从而OC⊥BO1

由三垂线定理得AC⊥BO1．

【解析】
（2）由（1）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC

设OC∩O1B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O1F（如图），

则EF是O1F在平面AOC 内的射影，

由三垂线定理得O1F⊥AC

所以∠O1FE是二面角O﹣AC﹣O1的平面角

由题设知OA=3，OO1=，O1C=1，

所以=2，AC==，

从而=，

又O1E=OO1•sin30°=，

所以sin∠O1FE==，

∴二面角O﹣AC﹣O1的正弦值为．