Question

已知函数在上是奇函数．

（1）求；

（2）对，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）令，若关于的方程有唯一实数解，求实数的取值范围．

Answer

（1）

（2）

（3）或

【解析】试题分析：（1）函数是奇函数，所以,解方程求a.（2）对于任意，函数f（x）恒大于0，不等式恒成立，即不等式恒成立，则。（3）先求，由得g（2x）=mg（x+1）即，所以（*）,令，则方程（*）变为。关于的方程有唯一实数解，所以方程有且只有一个正根。方程的根分以下三种情况讨论①有且只有一个根且是正根②有一正根一负根③有一正根一零根，求m的范围。

试题解析：（1）因为所以所以

（2），

所以，即

（3）因为，

即，所以（*）

因为关于的方程有唯一实数解，所以方程（*）有且只有一个根，

令，则方程（*）变为有且只有一个正根，

①方程有且只有一个根且是正根，则

所以，当时，方程的根为满足题意；

当时，方程的根为不满足题意

分

②方程有一正根一负根，则，所以

③方程有一正根一零根，则，所以，此时满足题意

综上， 的范围为或

说明：本题第（1）问中，利用特殊值法求解也正确。