Question

如图，在四棱锥S ­ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD．四边形ABCD为正方形，且点P为AD的中点，点Q为SB的中点．

(1)求证：CD⊥平面SAD．

(2)求证：PQ∥平面SCD．

(3)若SA＝SD，点M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)见解析（2）见解析(3)存在点N为SC中点,使得平面DMN⊥平面ABCD.

【解析】

试题分析：(1)由四边形为正方形可得,再根据面面垂直的性质定理即可得结论；(2)取的中点，连,由中位线定理可得，从而可得四边形为平行四边形，所以，进而根据线面平行的判定定理可得结论；(3) 存在点为中点,使得平面平面，先证明，再证明平面，可得平面, 面面垂直的判定定理即可得结论.连接 交于点，连接.

试题解析：(1)因为四边形ABCD为正方形,则CD⊥AD.

又平面SAD⊥平面ABCD，

且面SAD∩面ABCD=AD，

所以CD⊥平面SAD.

(2)取SC的中点R，连QR，DR.

由题意知：PD∥BC且PD=12BC.

在△SBC中，Q为SB的中点，R为SC的中点，

所以QR∥BC且QR=12BC.

所以QR∥PD且QR=PD，

则四边形PDRQ为平行四边形.

所以PQ∥DR.又PQ⊄平面SCD，DR⊂平面SCD，

所以PQ∥平面SCD.

(3)存在点N为SC中点,使得平面DMN⊥平面ABCD.

连接PC、DM交于点O，连接PM、SP，

因为PD∥CM，并且PD=CM，

所以四边形PMCD为平行四边形，所以PO=CO.

又因为N为SC中点，

所以NO∥SP.

因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，并且SP⊥AD，

所以SP⊥平面ABCD，

所以NO⊥平面ABCD,

又因为NO⊂平面DMN，

所以平面DMN⊥平面ABCD.

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、面面垂直的性质定理及判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（2）是就是利用方法①证明的.