Question

已知函数．
（Ⅰ）若f（1）=0，求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）令，讨论函数g（x）的单调区间；
（Ⅲ）若a=2，正实数x₁，x₂满足证明

Answer

（1）f（x）的最大值为f（1）=0．（2）见解析（3）见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）代入求出值，利用导数求出函数的极值，进而判断最值；（Ⅱ）求出，求出导函数，分别对参数分类讨论，确定导函数的正负，得出函数的单调性；（Ⅲ）整理方程，观察题的特点，变形得，故只需求解右式的范围即可，利用构造函数，求导的方法求出右式的最小值.

试题解析：（Ⅰ）因为，所以a=-2，此时f（x）=lnx-x2+x，

f'（x）=-2x+1，

由f'（x）=0，得x=1，

∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

故当x=1时函数有极大值，也是最大值，所以f（x）的最大值为f（1）=0． 

（Ⅱ）g（x）=f（x）-ax2-ax+1，

∴g（x）=lnx-ax2-ax+x+1 ，

当a=0时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；

当a＞0时，x∈（0，）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；x∈（，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；

当a＜0时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；

（Ⅲ）当a=2时，f（x）=lnx+x2+x，x＞0，．

由f（x1）+f（x2）+x1x2=0，即

lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x2x1=0．

从而（x1+x2）2+（x1+x2）=x1x2-ln（x1x2），．

令t=x2x1，则由φ（t）=t-lnt得，φ'（t）=．

可知，φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以φ（t）≥1，

所以（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，正实数x1，x2，

∴．