Question

某产品生产厂家根据以往销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为g（x）（万元），其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R（x）（万元）满足假设该产品产销平衡，试根据上述资料分析：

（Ⅰ）要使工厂有盈利，产量x应控制在什么范围内；

（Ⅱ）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？

（Ⅲ）当盈利最多时，求每台产品的售价．

Answer

（1）要使工厂有盈利，产量x应控制在100台到820台内．（2）当工厂生产400台产品时，可使盈利最多为3.6万元．（3）盈利最多时，每台产品的售价为240元．

【解析】试题分析：（1）由题意，设利润函数为 解 即可；（2）分别求各段上的最大值，比较大小从而求最高盈利；（3）当 时， (万元)， （万元∕百台），从而得结果.

试题解析：

【解析】
（Ⅰ）由题意，得g（x）=x+2，

设利润函数为f（x），

则f（x）=R（x）﹣g（x）=，

由f（x）＞0，解得1＜x≤5或5＜x＜8.2，

即1＜x＜8.2，

故要使工厂有盈利，产量x应控制在100台到820台内．

（Ⅱ）当0≤x≤5时，f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，

即当x=4时有最大值3.6；

当x＞5时，f（x）＜8.2﹣5=3.2．

故当工厂生产400台产品时，可使盈利最多为3.6万元．

（Ⅲ）当x=4时，

R（4）=9.6（万元），=2.4（万元/百台），

故盈利最多时，每台产品的售价为240元．

【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)