Question

已知点P（2，0），且圆C：x²+y²﹣6x+4y+4=0．

（Ⅰ）当直线过点P且与圆心C的距离为1时，求直线的方程；

（Ⅱ）设过点P的直线与圆C交于A、B两点，若|AB|=4，求以线段AB为直径的圆的方程．

Answer

（1）x=2；（2）(x－2)2＋y2=4

【解析】本试题主要是考查了直线与圆的位置关系的运用。以及圆的方程的求解问题。

（1）因为设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y－0=k(x－2)

又⊙C的圆心为(3,－2) ，r=3，利用线与圆的位置关系可知直线的方程。

（2）根据设过点P的直线与圆C交于A、B两点，当|AB|=4，利用半径长和半弦长，弦心距的勾股定理得到结论。

【解析】
（1）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y－0=k(x－2) …………………1分

又⊙C的圆心为(3,－2) ，r=3

由……………………4分

所以直线方程为……………………6分

当k不存在时，l的方程为x=2. ……………………8分

（2）由弦心距， ……………………11分

知P为AB的中点，故以AB为直径的圆的方程为(x－2)2＋y2=4. …………………14分