Question

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=， O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．

（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；

（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】试题分析：（1）由已知得 由此能证明平面 平面

（2）由已知得 ，取中点，连结，由此利用 可求得三棱锥 的体积．

试题解析：（1）∵平面平面，

∴．

∵四边形是菱形，∴．

又∵，∴平面．

而平面，

∴平面平面；

（2）连接，

∵平面，平面平面，

∴．

∵是的中点，∴是的中点．

取的中点，连接，

∵四边形是菱形， ，

∴，又，

∴平面，且，

故.

点睛：本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的灵活应用．