Question

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连接交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；

（3）在（Ⅱ）的条件下，证明直线与轴相交于定点．

Answer

（1） （2） （3）详见解析

【解析】试题分析：

(1)由题意求得 ，则椭圆的方程为；

(2)利用题意得到关于实数k的不等式，求解不等式可得直线的斜率的取值范围是

(3)写出直线方程，由根与系数的关系可得直线与轴相交于定点（1，0）.

试题解析：

【解析】
（Ⅰ）由题意知，

所以，即a2=4b2，∴a=2b

又因为，∴a=2，故椭圆C的方程为．

（Ⅱ）由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y=k（x﹣4）．

由得（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣4=0．①

由△=（﹣32k2）2﹣4（4k2+1）（64k2﹣4）＞0，得12k2﹣1＜0，∴

又k=0不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是： ．

（Ⅲ）设点N（x1，y1），E（x2，y2），则M（x1，﹣y1）．

直线ME的方程为．令y=0，得．

将y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）代入整理，得．②

由①得，代入②整理，得x=1．

所以直线ME与x轴相交于定点（1，0）．