Question

在单位正方体 中，O是 的中点，如图建立空间直角坐标系. 

（1）求证 ∥平面 ；

（2）求异面直线与OD夹角的余弦值；

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题分析：

(1)由 ，结合线面平行的判断定理即可证得结论；

(2)利用空间直角坐标系可得异面直线夹角的余弦值为 .

试题解析：

（1）解法一：连接A1D则∥A1D.

而A1D平面， 平面

所以∥平面.

解法二：设平面的一个法向量为，

由 得，令，则

所以. 又.从而

所以∥平面.

【解析】
（2）法一：由（1）知异面直线与的夹角为或其补角.

而且O为中点，故，

所以两异面直线与的夹角的余弦值为.

法二：设、分别为直线与的方向向量，

则由，得cos< , >= .

所以两异面直线与的夹角的余弦值为.