Question

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．

（1）求PB和平面PAD所成的角的大小；

（2）证明：AE⊥平面PCD；

（3）求二面角A﹣PD﹣C得到正弦值．

Answer

（1）PB和平面PAD所成的角的大小为45°．（2）见解析；（3）二面角A﹣PD﹣C得到正弦值为．

【解析】

试题分析：（1）由线面垂直得PA⊥PB，又AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，进而∠APB是PB与平面PAD所成的角，由此能求出PB和平面PAD所成的角的大小．

（2）由线面垂直得CD⊥PA，由条件CD⊥PC，得CD⊥面PAC，由等腰三角形得AE⊥PC，由此能证明AE⊥平面PCD．

（3）过点E作EM⊥PD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD，由此得∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣PD﹣C得到正弦值．

（1）【解析】
在四棱锥P﹣ABCD中，

∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，

∴PA⊥PB，又AB⊥AD，PA∩AD=A，

∴AB⊥平面PAD，∴∠APB是PB与平面PAD所成的角，

在Rt△PAB中，AB=PA，∴∠APB=45°，

∴PB和平面PAD所成的角的大小为45°．

（2）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，

∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA，

由条件AC⊥CD，PA⊥底面ABCD，利用三垂线定理得CD⊥PC，PA∩AC=A，

∴CD⊥面PAC，

又AE⊂面PAC，∴AE⊥CD，

由PA=AB=BC，∠ABC=60°，得AC=PA，

∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，

又PC∩CD=C，

综上，AE⊥平面PCD．

（3）【解析】
过点E作EM⊥PD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD，

∴∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角，

由已知得∠CAD=30°，

设AC=a，得PA=a，AD=，PD=，AE=，

在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM•PD=PA•AD，

∴AM==，

在Rt△AEM中，sin∠AME=．

∴二面角A﹣PD﹣C得到正弦值为．

考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．