Question

已知函数（）.

（1）若，求曲线在处切线的斜率；

（2）求的单调区间；

（3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）单调递增区间为，单调递减区间为；（3）.

【解析】试题分析：（1）由导数的几何意义求出切线的斜率；（2）先求导，再分别就 求出单调区间，主要函数 的定义域；（3）将已知条件转化为 ，再分别由单调性求出它们的最大值，进而求出的范围.

试题解析：

（1）由已知（），则.

故曲线在处切线的斜率为3；

（2） （）.

①当时，由于，故，

所以， 的单调递增区间为.

②当时，由，得.

在区间上， ，在区间上，

所以，函数的单调递增区间为，

单调递减区间为；

（3）由已知，转化为 ，

因为 ， ，

所以

由（2）知，当时， 在上单调递增，值域为，故不符合题意.

当时， 在上单调递增，在上单调递减，

故的极大值即为最大值， ，

所以，解得.

点睛：本题主要考查了导数的几何意义，以及导数在研究函数的单调性，最值中的应用，属于中档题. 解答第（3）问的关键是得出，考查了学生分析问题解决问题的能力，注意分类讨论和等价转换的思想.