Question

如图所示，椭圆E的中心为坐标原点，焦点在轴上，且在抛物线的准线上，点是椭圆E上的一个动点， 面积的最大值为.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）过焦点作两条平行直线分别交椭圆E于四个点.

①试判断四边形能否是菱形，并说明理由；

②求四边形面积的最大值.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）(i) 不能为菱形；（ii）当时， 取最大值6.

【解析】试题分析：（Ⅰ）待定系数法，利用焦点在已知抛物线的准线上，可得值，再由点在短轴顶点时面积的最大，可得，由关系得，可求得标准方程；（Ⅱ）易判断函数不可能平行于轴，为计算方便可令方程为，与椭圆方程联立消去，利用根与系数的关系，得两点纵坐标间的关系，①四边形为菱形，对角线互相垂直，则，转化为关于的方程，无线，可证四边形不是菱形．②同样利用坐标和面积公式，用表示出四边形的面积．再利用函数的性质可得面积的最大值．

试题解析：

（Ⅰ）设椭圆方程为

焦点在抛物线的准线上，

当点在短轴顶点时面积最大，此时

椭圆方程为

（Ⅱ）(i)由（I）知（-1，0）

直线不能平行于轴，所以设直线的方程为

设

由 得

连结，若为菱形，则，即

又

显然方程无解，

所以不能为菱形.

（ii）易知四边形为平行四边形，则，

而

又因为，

设，则

在上是增函数，

所以，当时， 取最大值6，此时即

点睛：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的位置关系,基本不等式,及韦达定理的应用.解析几何大题的第一问一般都是确定曲线的方程,常见的有求参数确定方程和求轨迹确定方程,第二问一般为直线与椭圆的位置关系,解决此类问题一般需要充分利用数形结合的思想化给出的条件,可将几何条件转化为代数关系,从而建立方程或者不等式来解决.