Question

已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）．

（I）求的解析式及单调递减区间；

（II）是否存在常数，使得对于定义域内的任意恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）单调减区间为和（2）

【解析】试题分析：

(1)由题意可得，对函数求导可得函数的单调减区间为和

(2)不等式等价于

①当时，令，由函数的性质可得；

②当时，可得，

综合①②可得： .

试题解析：

（I），

又由题意有： ，

故

此时， ，

由或，

函数的单调减区间为和

（说明：减区间写为的扣分）．

（II）要恒成立，

即

①当时， ，则要： 恒成立，

令，

再令，

在内递减，

当时， ，

故，

在内递增， ；

②当时， ，则要： 恒成立，

由①可知，当时， ，

在内递增，

当时， ，故，

在内递增， ，

综合①②可得： ，

即存在常数满足题意．