Question

选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；

（Ⅱ）设点为曲线上任意一点，求点到直线的距离的最大值．

Answer

（I）， ；（II）.

【解析】试题分析：

(1)利用互化公式可得直线的直角坐标方程和曲线的普通方程分别为， .

(2)利用距离公式得到三角函数式，结合三角函数的性质可得点到直线的距离的最大值为.

试题解析：（Ⅰ）因为直线的极坐标方程为，

即，即．

曲线的参数方程为（是参数），利用同角三角函数的基本关系消去，

可得．

（Ⅱ）设点为曲线上任意一点，则点到直线的距离

，

故当时， 取最大值为．

点睛：涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．