Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率．以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若点为椭圆上一点，直线的方程为，求证：直线与椭圆有且只有一个交点．

Answer

（I）；（II）详见解析.

【解析】试题分析：

(1)利用题意求得， ，椭圆的方程为．

(2)首先讨论当的情况，否则联立直线与椭圆的方程，结合直线的特点整理可得直线与椭圆有且只有一个交点．

试题解析：（Ⅰ）依题意，设椭圆的方程为，焦距为，

由题设条件知， ， ，

， ，

所以， ，或， （经检验不合题意舍去），

故椭圆的方程为．

（Ⅱ）当时，由，可得，

当， 时，直线的方程为，直线与曲线有且只有一个交点．

当， 时，直线的方程为，直线与曲线有且只有一个交点．

当时，直线的方程为，联立方程组

消去，得．①

由点为曲线上一点，得，可得．

于是方程①可以化简为，解得，

将代入方程可得，故直线与曲线有且有一个交点，

综上，直线与曲线有且只有一个交点，且交点为．