Question

设函数， （）．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数在处取得极大值，求正实数的取值范围．

Answer

（I）详见解析；（II）.

【解析】试题分析：

(1)首先求得函数的导函数，然后结合参数分类讨论，

当时， 的单调增区间为；

当时， 的单调增区间为，单调减区间为．

(2)求解的导函数，结合的结论分类讨论可得正实数的取值范围为．

试题解析：（Ⅰ）由， ，

所以．

当， 时， ，函数在上单调递增；

当， 时， ，函数单调递增， 时， ，函数单调递减．

所以当时， 的单调增区间为；

当时， 的单调增区间为，单调减区间为．

（Ⅱ）因为，

所以且．

由（Ⅰ）知①当时， ，由（Ⅰ）知在内单调递增，可得当时， ，当时， ．

所以在内单调递减，在内单调递增，所以在处取得极小值，不合题意．

②当时， ， 在内单调递增，在内单调递减，所以当时， ， 单调递减，不合题意．

③当时， ，当时， ， 单调递增，当时， ， 单调递减．

所以在处取极大值，符合题意．

综上可知，正实数的取值范围为．