已知函数，其中为常数. （1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求零点的个...

已知函数，其中为常数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若，求零点的个数；

（3）若为整数，且当时，恒成立，求的最大值.

（参考数据，，）

（1）；（2）；（3）. 【解析】试题分析：（1）当时，由，且，即可求解再点处的切线方程；（2）当时，，求得，从而得到在，单调递减，当时，单调递增，确定函数的极值，再根据零点的存在定理，即可得到函数有两个不同的零点. （3）由题意知，对恒成立，即对恒成立，令，得，从而判定出函数的单调性，进而得到存在，，即，得到函数的最小值，再由，所以的取值范围，得出结论. 试题解析：（1）当时， .因为，从而. 又，所以曲线在点处的切线方程，即. （2）当时， .因为，从而，当，，单调递减；当时，，单调递增. 所以当时，有极小值. 因，，所以在之间有一个零点. 因为，所以在之间有一个零点. 从而有两个不同的零点. （3）由题意知，对恒成立，即对恒成立. 令，则. 设，则. 当时，，所以在为增函数. 因为，，所以存在，，即. 当时，，单调递减，当时，，单调递增. 所以当时，的最小值. 因为，所以. 故所求的整数的最大值为.

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考点分析：

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