Question

如图，椭圆的上、下顶点分别为， ，右焦点为，点在椭圆上，且.

（1）若点坐标为，求椭圆的方程；

（2）延长交椭圆与点，若直线的斜率是直线的斜率的3倍，求椭圆的离心率；

（3）是否存在椭圆，使直线平分线段？

Answer

（1）；（2）；（3）存在.

【解析】试题分析：（1）由椭圆的标准方程，可得，进而得到，再把点代入椭圆的方程，即可求解椭圆的标准方程；

（2）由直线的方程与椭圆的方程联立，利用根据与系数的关系，得到的坐标，再由，化简即可求解椭圆的离心率.

（3）设与交于点，用直线的方程与联立，求解点坐标，再把点的坐标代入椭圆的方程，令，转化为函数恒成立，利用二次函数的性质，即可求解结论.

试题解析：（1）， ， ， .

.又， .

， .方程为.

（2）： 与联立，得，

.， .

又， .

， ， .

（3）： .设与交于点，

由，得.

代入椭圆方程，得，

，令，

得，设，

恒成立， 在上递增.

又， ，

在存在，使，

存在椭圆，使平分线段.