Question

已知函数， .

（1）讨论函数的单调区间；

（2）求证： ；

（3）求证：当时， ， 恒成立.

Answer

（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）见解析;（3）见解析.

【解析】试题分析：(1)求函数的导数,对讨论,分当时,当时,令导数大于0,得增区间,令导数小于0,得减区间;
(2) 令，由（1）可知，函数的最小值为，不等式得证;

(3)构造函数，证明其最小值大于等于0即可.

试题解析：（1），

（ⅰ）当时， ，函数在上单调递增；

（ⅱ）当时，令，则，

当，即时，函数单调递增；

当，即时，函数单调递减.

综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.

（2）证明：令，由（1）可知，函数的最小值为，∴，即.

（3）证明： 恒成立与恒成立等价，

令，即，则，

当时， （或令，则在上递增，∴，∴在上递增，∴，∴）

∴在区间上单调递增，

∴，

∴恒成立.

点晴:本题主要考查函数单调性，不等式恒成立，及不等式的证明问题.要求单调性，求导比较导方程的根的大小，解不等式可得单调区间，要证明不等式恒成立问题可转化为构造新函数，求其值最值即可.这类问题的通解方法就是：划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果.