Question

已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，其左右焦点为F₁，F₂，过F₂的直线l交椭圆E于A，B两点，△AB F₁的周长为8，且△AF₁F₂的面积最大时，△AF₁F₂为正三角形。

(1)求椭圆E的方程；

(2)若MN是椭圆E经过 原点的弦，MN||AB，求证： 为定值

Answer

（1）（2）4

【解析】试题分析：（I）根据题意列出关于 、 、的方程组，结合性质 ， 求出 、 、，即可得结果；（Ⅱ）直线与曲线联立，根据韦达定理，弦长公式将用 表示，消去 即可得结果.

试题解析：（I）由已知A，B在椭圆上，可得|AF1|+|AF2|=|BF1|=|BF2|=2a，

又△ABF1的周长为8，所以|AF1|+|AF2|+|BF1|=|BF2|=4a=8，即a=2，

由椭圆的对称性可得，△AF1F2为正三角形当且仅当A为椭圆短轴顶点，

则a=2c，即c=1，b2=a2﹣c2=3，

则椭圆C的方程为

（Ⅱ）证明：若直线l的斜率不存在，即l：x=1，求得|AB|=3，|MN|=2，可得=4；

若直线l的斜率存在，设直线l：y=k（x﹣1），

设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），

代入椭圆方程+，可得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，

有x1+x2 =，x1x2=，

|AB|，

由y=kx代入椭圆方程，可得x=±，

|MN|=

即有=4．

综上可得为定值4．

【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.