Question

已知四棱锥中， 面， ， ， ， ，点为的中点.

（Ⅰ）求证：面面；

（Ⅱ）若直线与面所成角的正切值为，试求三棱锥的外接球的体积与多面体的体积比.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】【试题分析】（１）依据题设条件借助直线与平面垂直的判定定理＼平面与平面垂直的判定定理进行推证；（２）运用三棱锥的体积公式计算出其体积，再求其比值：

（Ⅰ）证明：如图，过作交于，

∵， ，∴，∴四边形是矩形，

又，∴四边形为正方形，

∴，∴，

，

∴，∴，

又面，

∴，

又，∴面，

又面，∴面面.

（Ⅱ）如图，连接，则， 面， 为与面所成的角，

∴，∵，∴，∴，设三棱锥的外接球的半径为，可知，∴，∴，

∴.

又，

∴，

∴，∴.