Question

已知函数若曲线在处的切线方程为.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若对于任意，总有，求实数的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）本问考查导数的几何意义，根据曲线在点处切线方程为，当时，代入计算得出，即，根据函数，则，所以，另外本题也可以求出点处的切线方程，再根据题中的方程，就可以确定的值；（Ⅱ）对于任意， 恒成立，等价转化为对于任意， 恒成立，设函数，则问题转化为只需满足，接下来对求导， ，对分类讨论，在的取值范围不同时，分别求函数在区间上的最小值，满足，于是得到的取值范围.

试题解析:(Ⅰ) ，

则，

又因为切点为，

所以切线方程为，

即： ，

所以，

即.

(Ⅱ)设，则在上恒成立.

,

若，则在上恒成立， 在上单调递减，

,

所以符合题意.

若，则,

令，得或,

若则， 则，在上恒成立， 在上单调递减，

所以符合题意.

若，则，

当时， 单调递减；当时， 单调递增.

这时，不符合题意.

若，则，则在上恒成立， 在上单调递减，

所以符合题意.

综上所述： .

点睛：利用导数几何意义求切线问题时重点要区分“在某点”与“过某点”的不同之处，掌握两种题型解法的区别.另外本题考查导数问题中的恒成立问题，即若恒成立，则转化为成立即可，若恒成立，则转化为成立即可，注意等价转化的应用；在解决含参数问题时，要会对参数分类讨论，需要注意的是讨论过程中要做得“不重不漏”，同时辅助数形结合的思想方法解题，有助于提高解题效率.