Question

在如图所示的多面体中， 平面

.

(Ⅰ)在上求作，使平面，请写出作法并说明理由；

(Ⅱ)若在平面的正投影为，求四面体的体积.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）本问为探索性问题，考查直线与平面平行，可以通过线面平行判定定理证明，也可以通过面面平行来证明线面平行，根据本题实际条件，可以选择先证明面面平行，根据底面为等腰梯形且，取中点，易证四边形为平行四边形，所以可以证明出平面平面，则与交点即为所求点，易证平面；（Ⅱ）本问主要是找到点在平面内的正投影，即过点的平面的垂线，根据已知条件， 平面，易证明平面平面，因此根据面面垂直性质定理，过点向作垂线，垂足即为点，然后在底面内可以求出的长度，再求出的面积，然后以为顶点， 为底面，可以求出四面体的体积.

试题解析：(Ⅰ)取的中心，连结，交于，

连结，此时为所求作的点

下面给出证明：

， ,又,四边形是平行四边形，

故即.

又平面, 平面,平面，

， 平面平面， 平面，

又平面， 平面， ,

平面平面，

又平面,平面.

(Ⅱ) 平面, 平面,

平面平面.

过作，交的延长线于点，则平面为在平面上的正投

影.

在直角三角形中，得, ，

，

.

所以四面体的体积为.