Question

现有正整数构成的数表如下：

第一行：1

第二行：1    2

第三行：1    1    2    3

第四行：1    1    2    1    1    2    3    4

第五行：1    1    2    1    1    2    3    1    1    2    1    1    2    3    4    5

……    ……    ……

第行：先抄写第1行，接着按原序抄写第2行，然后按原序抄写第3行,...,直至按原序抄写第行，最后添上数.（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4）.

将按照上述方式写下的第个数记作（如）

（1）用表示数表第行的数的个数，求数列的前项和；

（2）第8行中的数是否超过73个？若是，用表示第8行中的第73个数，试求和的值；若不是，请说明理由；

（3）令，求的值.

Answer

（1）（2）（3）

【解析】试题分析：（1）根据题意可以写出当时， ，

，于是，即，所以，故；（2）根据，第8行中共有个数，所以，第8行中的数超过73个，所以，从而， ，由， ，所以，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第个数，同上过程知，所以， .（3）由于数表的前行共有个数，于是，先计算.在前个数中，共有1个，2个， 个，……， 个，……， 个1，因此 ，则 ，两式相减，得 .

试题解析：（1）当时，

，

，

于是，即，又， ，

所以，

故.

（2）由得第8行中共有个数，

所以，第8行中的数超过73个，

，

从而， ，

由， ，

所以，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第个数，同上过程知，

所以， .

（3）由于数表的前行共有个数，于是，先计算.

在前个数中，共有1个，2个， 个，……， 个，……， 个1，

因此 ，

则 ，

两式相减，得 .

点睛：此类问题主要考查考生的推理能力，需要考生对题干上给的信息理解透彻，进而推理出相关关系式，得出正确的结论。在求时首先需要求出是第几行的第几个数，进而可以求出。