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如图:椭圆与双曲线有相同的焦点、,它们在轴右侧有两个交点、,满足.将直线左侧的椭...

如图:椭圆与双曲线有相同的焦点,它们在轴右侧有两个交点,满足.将直线左侧的椭圆部分(含 两点)记为曲线,直线右侧的双曲线部分(不含 两点)记为曲线.以为端点作一条射线,分别交于点,交于点(点在第一象限),设此时.

(1)求的方程;

(2)证明: ,并探索直线斜率之间的关系;

(3)设直线于点,求的面积的取值范围.

 

(1)(2)见解析(3) 【解析】试题分析:(1)根据椭圆方程求出右焦点,根据得到、关于轴对称,所以求出, ,所以求出双曲线的方程;(2)设 ,得, ,由,得,即,又因为 分别在曲线和上,有, ,消去,得, (*),所以点坐标为, .所以直线的斜率,直线的斜率.所以与斜率之和为零;(3)由(2)知直线与关于轴对称,结合椭圆的对称性知点与点关于轴对称,故,所以 ,利用函数单调求出的范围。 试题解析:(1)由条件,得,根据知, 、、三点共线, 且由椭圆与双曲线的对称性知, 、关于轴对称, 故所在直线为,从而得, . 所以, ,又因为为双曲线的焦点,所以, 解得. 因此, 的方程为. (2)由 ,得, , 由条件,得,即, 由 分别在曲线和上,有, ,消去,得, (*), 将代入方程(*),成立,因此(*)有一根,结合韦达定理得另一根为,因为,所以,舍去. 所以, . 从而点坐标为. 所以,直线的斜率, 由,得. 所以,直线的斜率. 因此, 与斜率之和为零. (3)由(2)知直线与关于轴对称,结合椭圆的对称性知点与点关于轴对称,故, 因此, , , 因为在上单调递增, 所以的取值范围是.  
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