Question

如图：在四棱锥中， 平面，底面是正方形， .

（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）求点、分别是棱和的中点，求证： 平面.

Answer

（1）（2）见解析

【解析】试题分析：以点为原点，以方向为轴正方向， 方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，然后利用向量的方法求解。（1）求出异面直线与的方向向量，由求出异面直线的夹角；（2）证明平面，只需求出， 即可。

试题解析：（1）以点为原点，以方向为轴正方向， 方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，

则， ， ， ，

所以， ， ，

设， 的夹角为，

则，

所以， ， 的夹角为，

即异面直线与所成角的大小为.

（2）因为点、分别是棱和的中点，

可得， ，所以，

又， ，

计算可得， ，

所以， ， ，又，所以平面.