Question

设单调函数的定义域为，值域为，如果单调函数使得函数的值域也是，则称函数是函数的一个“保值域函数”.已知定义域为的函数，函数与互为反函数，且是的一个“保值域函数”， 是的一个“保值域函数”，则__________.

Answer

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【解析】根据“保值域函数”的定义可知；如果函数是函数的一个“保值域函数”，那么的值域就等于的定义域。所以， 的值域等于的定义域； 的值域等于的定义域。因为函数与互为反函数，所以的定义域等于的值域。因此的值域等于的定义域。函数，

所以在是单调递减，在是单调递增。（1）当时， ，消元得到，解得，舍去；（2）当时， ，整理可得，解得，故

点睛：本题属于定义题，有点难。需要在审题过程中把题干上给的定义读懂，理解透彻，灵活运用，对学生能力要求高。本题需要注意两点：（1）复合函数中内涵数的值域等于外函数的定义域，所以能够得出的值域就等于的定义域；（2）互为反函数的两个函数，一个函数定义域等域另一个的值域，这个性质是解本题的关键。本题易错的是遗忘了定义中对函数单调的要求。