Question

如图：椭圆与双曲线有相同的焦点、，它们在轴右侧有两个交点、，满足.将直线左侧的椭圆部分（含， 两点）记为曲线，直线右侧的双曲线部分（不含， 两点）记为曲线.以为端点作一条射线，分别交于点，交于点（点在第一象限），设此时.

（1）求的方程；

（2）证明： ，并探索直线与斜率之间的关系；

（3）设直线交于点，求的面积的取值范围.

Answer

（1）（2）见解析（3）

【解析】试题分析：（1）根据椭圆方程求出右焦点，根据得到、关于轴对称，所以求出， ，所以求出双曲线的方程；（2）设 ，得， ，由，得，即，又因为 分别在曲线和上，有，

，消去，得， （*），所以点坐标为， .所以直线的斜率，直线的斜率.所以与斜率之和为零；（3）由（2）知直线与关于轴对称，结合椭圆的对称性知点与点关于轴对称，故，所以 ，利用函数单调求出的范围。

试题解析：（1）由条件，得，根据知， 、、三点共线，

且由椭圆与双曲线的对称性知， 、关于轴对称，

故所在直线为，从而得， .

所以， ，又因为为双曲线的焦点，所以，

解得.

因此， 的方程为.

（2）由 ，得， ，

由条件，得，即，

由 分别在曲线和上，有，

，消去，得，

（*），

将代入方程（*），成立，因此（*）有一根，结合韦达定理得另一根为，因为，所以，舍去.

所以， .

从而点坐标为.

所以，直线的斜率，

由，得.

所以，直线的斜率.

因此， 与斜率之和为零.

（3）由（2）知直线与关于轴对称，结合椭圆的对称性知点与点关于轴对称，故，

因此， ，

，

因为在上单调递增，

所以的取值范围是.