Question

已知椭圆： 的左焦点，若椭圆上存在一点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于线段的中点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过坐标原点的直线交椭圆： 于、两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连结并延长交椭圆于，求证： .

Answer

（1）；（2）见解析．

【解析】试题分析：

（Ⅰ）连接，由题设条件能够推导出，在 中， ，由此能求出椭圆的方程．（Ⅱ） 由（Ⅰ）得椭圆，设直线的方程为，并代入得： ，利用根的判别式、中点坐标公式推导出当，或，或时，直线过椭圆的顶点．（Ⅲ）法一：由椭圆的方程为，设，则，直线的方程为，过点且与垂直的直线方程为，由此能够证明．法二：由（Ⅰ）得椭圆的方程为，设，则，故，由此能够证明．

试题解析：

【解析】
（Ⅰ）连接为原点， 为右焦点），由题意知：椭圆的右焦点为

因为是的中位线，且，所以

所以，故

在中，

即，又，解得

所求椭圆的方程为．---------6分

(Ⅱ)法一：由（Ⅰ）得椭圆的方程为

根据题意可设，则

则直线的方程为…①

过点且与垂直的直线方程为…②

①②并整理得：

又在椭圆上，所以

所以

即①、②两直线的交点在椭圆上，所以．

法二：由（Ⅰ）得椭圆的方程为

根据题意可设，则， ，

所以直线

，化简得

所以

因为，所以，则

所以，则，即.