Question

如图，在四棱柱中，底面ABCD和侧面都是矩形，E是CD的中点，，

.

（1）求证：；

（2）若平面与平面所成的锐二面角的大小为，求线段的长度.

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，由已知得，，所以利用线面平行的判定得平面，再利用线面垂直的性质，得；第二问，可以利用传统几何法求二面角的平面角，也可以利用向量法求平面和平面的法向量，利用夹角公式列出方程，通过解方程，求出线段的长度..

（1）证明：∵底面和侧面是矩形，

∴，

又∵

∴平面 3分

∵平面∴ ． 6分

（2）

解法1：延长，交于，连结，

则平面平面

底面是矩形，是 的中点，，∴连结，则

又由（1）可知

又∵，

∴底面，∴∴平面 9

过作于，连结，则是平面与平面即平面与平面所成锐二面角的平面角，所以

又，∴

又易得，，从而由，求得． 12分

解法2：由（1）可知

又∵，∴底面 7分

设为的中点，以为原点，以，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图． 8分

设，则，，，，

设平面的一个法向量

∵，

由，得

令，得 9分

设平面法向量为，因为 ，，

由 得令，得． 10分

由平面与平面所成的锐二面角的大小为，

得 ，解得． 即线段的长度为． 12分

考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角.