Question

已知椭圆 的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、， 为坐标原点，四边形的面积为，且该四边形内切圆的方程为．

（Ⅰ）求椭圆的方程;

（Ⅱ）若、是椭圆上的两个不同的动点，直线、的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由.

Answer

（Ⅰ） ;（Ⅱ）.

【解析】试题分析：

(1)利用题意求得， ，则椭圆的方程为： ；

(2)分别考查斜率存在和斜率不存在两种情况，求得的面积为定值.

试题解析：

（Ⅰ）四边形的面积为，又可知四边形为菱形，

，即 ①

由题意可得直线方程为： ，即

四边形内切圆方程为

圆心到直线的距离为，即②

由①②解得： ，

椭圆的方程为：

（Ⅱ）若直线的斜率存在，设直线的方程为， ， ，

由得：

直线与椭圆相交于两个不同的点，

得： ③

由韦达定理：

直线的斜率之积等于，

满足③

又到直线的距离为,

所以的面积

若直线的斜率不存在， 关于轴对称

设， ，则，

又 在椭圆上， ，

所以的面积

综上可知， 的面积为定值.