Question

在三棱柱中，侧面为矩形， ， ， 是的中点， 与交于点，且平面.

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）若， 的重心为，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

(Ⅰ) 见解析; (Ⅱ) .

【解析】试题分析：

(1)利用题意首先证明： 平面，然后利用面面垂直的判断定理即可证明平面平面

(2)利用题中结合体的结构特征，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系．利用平面的法向量和直线的方向向量求得.

试题解析：

(Ⅰ) 为矩形， ， ， 是的中点，

， ， ，

从而， ，

， ，

，

，从而

平面， 平面，

，

， 平面，

平面，

平面平面

(Ⅱ)

如图，以为坐标原点，

分别以所在直线为轴，

建立如图所示的空间直角坐标系．

在矩形中，由于，所以和相似，

从而

又，

， ， ，

， ,

为的重心，

设平面的法向量为，

，

由可得 ，

令，则， ，所以.

设直线与平面所成角，则

，

所以直线与平面所成角的正弦值为

点睛：证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．

利用空间向量求线面角有两种途径：一是求斜线和它在平面内射影的方向向量的夹角(或其补角)；二是借助平面的法向量．