Question

已知正项数列满足， , .

（Ⅰ）求证： 与同号，且；

(Ⅱ) 求证： ， .；

(Ⅲ) 求证： ， .

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析

【解析】试题分析：（1）先根据条件得，作差变形可得，根据正项数列条件可得与同号，，计算，可得，（2）利用因式分解将条件转化为，同（1）可得与同号，且由，即，即，从而可得（3）由（2）利用叠乘法可得，再利用等比数列求和公式并放缩可得结论：

试题解析：证明：（Ⅰ）由…………（1）

得…………（2）

两式相减得，

即有，因为，所以与同号

,，则，

所以，即数列是单调减数列

(Ⅱ) 由，得，即，

所以，

由，易知与同号，

由于，可知，即，故

则，所以

(Ⅲ)由(Ⅱ)知时，

，

又，故有，.

则

.