Question

已知定义在上的函数.

（Ⅰ）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅱ）设，求函数在上的最大值的表达式．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】试题分析：（1）化简不等式转化为一元二次不等式在定义区间上恒成立问题，根据对称轴与定义区间位置关系进行分类讨论函数最小值，根据最小值大于零，解不等式组可得实数的取值范围；（2）根据绝对值定义将函数转化为分段函数形式，根据图像按单调性进行分类讨论函数最大值：当时，；当时，；当时， ，最后用分段函数形式表示.

试题解析：（Ⅰ）方法一：不等式恒成立

等价于恒成立 .

即对恒成立，

令，的对称轴为，

则有或或

解得． 故实数的取值范围是．

方法二：不等式恒成立等价于恒成立 .

即等价于对一切恒成立，

即恒成立，得恒成立，

当时，，，

因此，实数的取值范围是．

方法三：数形结合（略）

（Ⅱ），

其图像如图所示．当时，，根据图像得：

（ⅰ）当时，

（ⅱ）当时，

（ⅲ）当时，

综合有

点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．