Question

如图，在几何体中，平面平面，四边形是正方形， ，且平面平面.

（I）求证： 平面；

（II）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】试题分析：（1）先根据面面垂直性质定理得平面,同理过点作，再利用面面垂直性质定理得平面 ，然后根据线面垂直性质定理得, ,最后根据线面垂直判定定理得平面；（2）一般利用空间向量数量积求解线面角；先根据条件建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出平面法向量，利用向量数量积求直线方向向量与平面法向量的夹角，最后根据线面角与向量夹角之间互余关系求线面角的正弦值.

试题解析：（I）

平面平面，又,

平面,

过点作，交于点，由平面平面，

得平面，

显然与是平面内两相交直线，

平面

（II）设线段中点为，线段的中点为，

则、、互相垂直

分别以、、为、、轴，建立空间直角坐标系，如图

由平面，

得，又，设，得

得各点坐标为.

设平面的法向量为

而,，则有，

取，得，又

设直线与平面所成角为，则，

即直线与平面所成角的正弦值为