Question

设椭圆的左、右焦点分别为、，过右焦点的直线与椭圆相交于两点.

（Ⅰ）设直线, 的斜率分别是， ，当时，求直线的方程；

（Ⅱ）过右焦点作与直线垂直的直线，直线与椭圆相交于两点,求四边形的面积的取值范围.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】试题分析：（1）先用点的坐标表示斜率：设，，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得关于直线斜率关系，由解出直线斜率，即得直线方程，注意讨论斜率不存在是否满足题意，（2）由垂直关系可得,所以联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式 将面积转化为关于直线斜率的函数关系式，再根据二次函数值域求法求面积取值范围，最后注意讨论斜率不存在时面积取值.

试题解析：（Ⅰ）设，当直线的斜率不存在时，可得，

此时，，不合题意.

当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则直线的方程为，

把代入椭圆方程中消去，整理得，

则有.

则，

即有，

由，得，故直线的方程为.

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，可得，此时，

则.

当直线的斜率存在，且不为零时，设直线的斜率为.

由（Ⅰ）知，

即.

又直线的斜率为，则.

从而，

设，则有，

，

则，综合有.

所以四边形的面积的取值范围为.