Question

围建一个面积为360m²的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修，可供利用的旧墙足够长），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图2所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m, 设利用旧墙的长度为（单位： ），修建此矩形场地围墙的总费用为（单位：元）.

（Ⅰ）将表示为的函数；

（Ⅱ）试确定,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。

Answer

（1）；（2）时，

【解析】试题分析：（1）借助题设条件建立等量关系求解；（2）借助题设运用基本不等式求解.

试题解析：

（1）如图，设矩形的另一边长为，

则，

由已知，得，∴（）．

（2）∵，∴，

∴，当且仅当，即时等号成立，

∴当时，修建围墙的总费用最小，最小总费用为10440元．

考点：基本不等式等有关知识的综合运用．

【易错点晴】应用题是高中数学问题中的常见题型,也是高考常考题型之一.这类问题的解答思路是:一、仔细阅读问题中的文字叙述；二、理解题意搞清问题中的数量关系；三、构建合适的数学模型；四、运用数学知识进行分析和求解.本题以修建围墙的费用为背景设置的实际问题,其目的是考查基本不等式等有关知识的综合运用.求解时先阅读理解题意,再构建函数关系,最后再运用基本不等式求解,从而使得问题获解.