Question

设函数

（1）求的单调区间；

（2）证明：曲线不存在经过原点的切线．

Answer

（1）时， 在区间及内单调递增，在内单调递减； 时， 在内单调递增；（2）证明见解析．

【解析】试题分析：（1）研究单调区间，先求导数，接着研究的正负，按或分类可得结论；（2）否定性命题，可用反证法，即假设曲线在点处的切线经过原点，则，即，下面只要证明这个方程无实数解即可，这又要化简此方程，然后用导数研究函数得结论．

试题解析：（1）的定义域为， .

令，得，

当，即时， ，∴在内单调递增，

当，即时，由解得

， ，且，

在区间及内， ，在内， ，

∴在区间及内单调递增，在内单调递减.

（2）假设曲线在点处的切线经过原点，

则有，即，

化简得： （*）

记，则，

令，解得.

当时， ，当时， ，

∴是的最小值，即当时， .

由此说明方程（*）无解，∴曲线没有经过原点的切线.

考点：导数与单调性，导数的几何意义，反证法．

【名师点睛】1．求函数的单调区间常用方法：

①确定函数y＝f（x）的定义域；

②求导数y′＝f′（x）；

③解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；

④解不等式f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．

2．数学上对否定性命题，含有“至少”、“至多”等词的命题等一般用反证法证明，一般是假设结论的反面成立，然后以此为基础进行推导，最后得出矛盾的结论（与已知、定义、定理矛盾，或推出相互矛盾的结论等等）．从而说明假设错误，原结论正确．