Question

以直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线的参数方程为（为参数， ），曲线的极坐标方程为．

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设直线与曲线相交于两点，当变化时，求的最小值．

Answer

（1）直线的普通方程为；曲线的直角坐标方程为；（2）8.

【解析】试题分析：

（1）消去参数（可用代入法）得直线的普通方程，利用公式可化曲线极坐标方程为直角坐标方程；（2）直接把直线的参数方程代入曲线（抛物线）的直角坐标方程，利用参数的几何意义求解，即两点对应参数为，则，利用韦达定理易求解．

试题解析：

（1）由消去得： ，

所以直线的普通方程为，

由，得，把， 代入上式，得，

所以曲线的直角坐标方程为.

（2）将直线的参数方程代入，得，

设两点对应的参数分别为，

则， ，

所以 ，

当时， 的最小值为8．