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为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调...

为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查,得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为:在30名男性驾驶员中,平均车速超过的有20人,不超过的有10人.在20名女性驾驶员中,平均车速超过的有5人,不超过的有15人.

(Ⅰ)完成下面的列联表,并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过的人与性别有关;

 

平均车速超过

人数

平均车速不超过

人数

合计

男性驾驶员人数

 

 

 

女性驾驶员人数

 

 

 

合计

 

 

 

 

(Ⅱ )以上述数据样本来估计总体,现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆,记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过的车辆数为,若每次抽取的结果是相互独立的,求的分布列和数学期望.

参考公式: ,其中

参考数据:

0.150

0.100

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

 

 

 

(Ⅰ)有的把握,(Ⅱ) ,分布列见解析 【解析】试题分析: (Ⅰ)先根据题意填写表格(注意对应关系),再代入公式,并将计算结果与参考数据进行对照,确定把握率范围,进而判段是否有的把握.(Ⅱ)根据频率估计概率得:驾驶员为女性且车速不超过的车辆的概率为.由于随机变量服从二项分布,根据公式 可得随机变量对应的概率,列表可得分布列,根据可得数学期望. 试题解析:【解析】 (Ⅰ)   平均车数超过 人数 平均车速不超过 人数 合计 男性驾驶员人数 20 10 30 女性驾驶员人数 5 15 20 合计 25 25 50   , 所以有的把握认为平均车速超过与性别有关. (Ⅱ)根据样本估计总体的思想,从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取1辆,驾驶员为女性且车速不超过的车辆的概率为. 的可能取值为,且, , , 分布列为: 0 1 2 3   . 或. 点睛:求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为: 第一步是“判断取值”,即判断随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表示的意义; 第二步是“探求概率”,即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式,以及对立事件的概率公式等),求出随机变量取每个值时的概率; 第三步是“写分布列”,即按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确; 第四步是“求期望值”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值,对于有些实际问题中的随机变量,如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X~B(n,p)),则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)=np)求得.因此,应熟记常见的典型分布的期望公式,可加快解题速度.  
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考点分析:
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为了解甲、乙两厂产品的质量,从两厂生产的产品中分别随机抽取各10件样品,测量产品中某种元素的含量(单位:毫克),如图是测量数据的茎叶图:

规定:当产品中的此种元素含量不小于16毫克时,该产品为优等品.

(1)从乙厂抽出的上述10件样品中,随机抽取3件,求抽到的3件样品中优等品数的分布列及其数学期望

(2)从甲厂的10件样品中有放回地逐个随机抽取3件,也从乙厂的10件样品中有放回地逐个随机抽取3件,求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率.

 

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已知函数

(Ⅰ)若函数在点处的切线与直线垂直,求切线的方程;

(Ⅱ)求函数的极值.

 

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以直角坐标系的原点为极点, 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位,已知直线的参数方程为为参数, ),曲线的极坐标方程为

(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;

(2)设直线与曲线相交于两点,当变化时,求的最小值.

 

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已知实数满足,实数满足,则的最小值为__________

 

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已知 展开式的常数项为15,则__________

 

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