Question

为了解甲、乙两厂产品的质量，从两厂生产的产品中分别随机抽取各10件样品，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克），如图是测量数据的茎叶图：

规定：当产品中的此种元素含量不小于16毫克时，该产品为优等品．

（1）从乙厂抽出的上述10件样品中，随机抽取3件，求抽到的3件样品中优等品数的分布列及其数学期望；

（2）从甲厂的10件样品中有放回地逐个随机抽取3件，也从乙厂的10件样品中有放回地逐个随机抽取3件，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．

Answer

（1），分布列见解析（2）

【解析】试题分析：（1） 的所有可能取值为，由古典概型分别求概率，得到的分布列，再求期望即可；（2）抽取的优等品数甲厂比乙厂多两件包括两个基本事件： “抽取的优等品数甲厂 件，乙厂件”， “抽取的优等品数甲厂 件，乙厂件”,分别计算出它们的概率，再利用概率的加法公式得到抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多件的概率即可。

（1）由题意知， 的值为0,1,2,3，

， ， ， ，

∴的分布列为

0

1

2

3

．

（2）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为，

乙厂抽取的样本中有5件，优等品率为，

抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，

即 “抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”， “抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”，

，

，

∴抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率： ．

点睛：离散型随机变量均值与方差的求解方法

数学期望与方差、标准差都是离散型随机变量中重要的数字特征，数学期望反映了随机变量取值的平均水平，方差、标准差都反映了随机变量取值的稳定程度、集中与离散的程度．求解离散型随机变量的分布列、期望与方差时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的取值，然后根据概率类型选择公式，求解变量取某一个值的概率，列出分布列，最后根据期望与方差的定义或计算公式求解．