Question

已知函数 ， ．

（Ⅰ）当 时， 恒成立，求的取值范围；

（Ⅱ）当 时，研究函数的零点个数；

（Ⅲ）求证： (参考数据： )．

Answer

(Ⅰ) ; (Ⅱ)当时无零点；当时有一个公共点. (Ⅲ)见解析.

【解析】【试题分析】（1）构造函数借助导数知识运用分类整合思想分析探求；（2）构造函数运用导数知识研究函数的图像变化情况，确定函数的图像的交点的个数；（3）借助（1）、（2）的结论运用缩放的方法进行分析推证：

(Ⅰ)令则

①若，则， ， 在递增， ，即在 恒成立，满足，所以；

②若， 在递增， 且

且时， ，则使进而在递减，在递增，

所以当时，即当时， ，不满足题意，舍去；

综合①，②知的取值范围为.

(Ⅱ)依题意得，则，

则在上恒成立，故在递增，

所以，且时， ；

若，即，则，故在递减，所以，

在无零点；②若，即，则使，进而在递减，在递增， 且时， ， 在上有一个零点，在无零点，故在有一个零点.

综合①②，当时无零点；当时有一个公共点.

(Ⅲ)由(Ⅰ)知，当时， 对恒成立，

令，则 即；

由(Ⅱ)知，当时， 对恒成立，

令，则，所以；

故有.

点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，设置了三个问题，旨在考查导数在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。求解第一问时，先构造函数借助导数知识运用分类整合思想分析探求出参数的取值范围；解答第二问时，构造函数运用导数求导法则对函数求导，再结合导数与函数的单调性的关系研究函数的图像变化情况，进而确定函数的零点的个数；解答第三问时充分借助（1）、（2）的结论，巧妙地运用缩放的方法进行分析推证，从而使得问题获解。